Hoe de Radius Met Chord Lengths en Arc Lengths zoeken

February 17


Hoe de Radius Met Chord Lengths en Arc Lengths zoeken

Veel geometrie problemen verzoeken de oplosser om de straal van een cirkel berekenen van lichten omtrent de cirkel, zoals boog lengtes koorde lengte en booghoeken. Hoewel er expliciete oplossing voor veel van deze problemen, wanneer de lengte van een koorde en de bijbehorende boog bekend zijn en de radius onbekend, uitsluitend impliciet gedefinieerde oplossing mogelijk. U kunt nog steeds gebruik maken van de Taylor reeks onderlinge aanpassing van de sinus van een hoek om een ​​benaderende antwoord te krijgen, echter.

Instructies

•  Trek een rechte lijn vanuit het midden van de cirkel om de exacte middelpunt van het akkoord en boog met behulp van uw heerser. De lengte van deze lijn is gelijk aan de straal van de cirkel en loodrecht op het akkoord. Label een van de hoeken gevormd door deze lijn en een van stralen van de boog "x".

•  Stel vergelijkingen met betrekking de hoek x, de straal lengte "R", de koordelengte "C" en de booglengte "A." De sinus van x is gelijk aan het tegenovergestelde dan schuine zijde van de driehoek gevormd door de lijn die u hebt getekend, straal en de helft van het akkoord lengte van de boog, dus sin x = C / 2R. De boog hoek gelijk aan de booglengte gedeeld door de straal, zodat de hoek x, dat is de helft van de maat booghoek's, gelijk aan de helft van de booglengte gedeeld door de straal of A / 2R.

•  Combineer de twee vergelijkingen afgeleid in de vorige stap om x te elimineren, waardoor alleen de variabele R en de bekende lengtes A en C. Je weet dat R * sin x = C / 2, en je kunt vervangen door "A / 2R" voor x de vergelijking R * sin (A / 2R) = C / 2 krijgen. Dit is de impliciete oplossing voor de straal van de cirkel, gezien de booglengte en koordlengte.

•  Geschatte sin (A / 2R) met behulp van de eerste twee termen van Taylor reeks onderlinge aanpassing van de sinus: x - (x ^ 3/6). Sin (A / 2R) ongeveer gelijk is aan A / 2R - 1/6 * (A / 2R) ^ 3.

•  Steek de waarde van de vorige stap in de impliciete oplossing van stap 3 de vergelijking R * krijgen (A / 2R - 1/6 * (A / 2R) ^ 3) = C / 2. Dit vereenvoudigt (A / 2 - C / 2) * R ^ 2 = A ^ 3/48. Oplossen van R geeft de vergelijking R ^ 2 = (A ^ 3 / (24 * (A -. C)) Als de booglengte 4 en akkoordlengte is 3,5, de straal kwadraat gelijk is aan 4 blokjes gedeeld door 12, of 5.33. De vierkantswortel van 5,33 2.31, die de lengte van de straal.